罗素悖论引发了数学的第三次危机(精选美句97句)

罗素悖论引发了数学的第三次危机

1、斯坦福大学人工智能实验室主任：李飞飞——ImageNet之后，计算机视觉研究最新进展

2、理科少年周彦：围棋4段、会写代码，却说自己像榴莲？老凡尔赛了！

3、策梅洛，提出公理化集合论，这就是集合论发展的第二个阶段。 

4、阿基米德—利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。“阿基米德螺线”就是为纪念他研究出螺旋形曲线的性质而命名的。

5、这直接揭示了集合论的逻辑矛盾所在，而由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。

6、如果上帝能造出这块石头，可他自己又举不起这块石头，那他就不是万能的；如果他不能造出这块石头，那又怎么能说上帝是万能的。

7、1950年，罗素78岁，获得诺贝尔文学奖。“表彰他所写的捍卫人道主义理想和思想自由的多种多样意义重大的作品”。达到了人生的巅峰！(罗素悖论引发了数学的第三次危机)。

8、这一年，罗素又做了一件让人意想不到的事，创作小说。他匿名出版了第一部小说《x小姐科西嘉历险记》，之后又相继出版了两部短篇小说：《近郊的撒旦》、《显要人物的恶梦》，它们是用寓言形式写成的。罗素的散文在英国文学中也享誉甚高。

9、1933年，罗素61岁，写出《数学的性质》。

10、第一次数学危机为数学带来了无理数的发展，第二次数学危机使得微积分经过磨炼更加系统化，完整化，严密化。而第三次危机目前的解决办法是构造公理化来排除这样的集合的存在性。

11、1944年，罗素72岁，在纽约的兰德学院讲演，在WEAF电台谈论“与苏联合作”问题。返回英国。

12、蒯因自己也觉得奇怪，但是他更相信概念分析的能力。然而，概念分析的能力真的这么强大吗，强大到可以帮助我们证明或者否证经验命题吗？

13、    本文前面提到的求前10亿个自然数之和的问题，如果用计算机解决问题，其实就是把若干自然人接续计算的若干次“可读型”逻辑推理压缩到计算机里。然而，视乎人们对此并不反感，因为人们对这种按部就班的加法运算太熟悉啦，以至于有点儿麻木。对那些人们确实陌生的问题，大家的态度会不会有变化呢？请看两个著名的例子。

14、此时，理发师无比纠结：到底该不该给自己刮胡子？

15、数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精准性。严谨性是数学学科的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。

16、尽管公理系统能够消除悖论，但是悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

17、棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理(中心极限定理)的原始形式；

18、俄国数学家切比雪夫、马尔可夫)等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式。

19、表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。

20、1949年，罗素77岁，被授予勋章。为威斯敏斯特学院演讲“原子能与欧洲问题”。

21、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。

22、在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：集合1={1,2,3}说的是由3三个自然数组成的集合，但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“ 无限制概括公理 ”，说的是：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

23、于是，来找他刮胡子的人络绎不绝。。。(当然，这些都是不给自己刮胡子的人)

24、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。相关的改进工作时至今日也为停下脚步。

25、可以看到，“悖论”是矛盾等价式，且具备以下三个要素：

26、访德访美，让罗素眼界大开，要出人头地，必须要有超人的作品，而罗素最擅长的还是数学与哲学。

27、但是悖论产生危机，这既是科学的产物，又刺激科学的进步。危机产生变革，变革刺激进步，也由此数学世界在一次次的危机考验下变得越发严谨与牢固，呈现出兴旺繁荣的姿态。

28、②如果一个形式系统含有初等数论，当该系统自洽(所有公理都不互相矛盾)时，它的自洽性不可能在该系统内证明。

29、1897年，罗素25岁，把大学论文进一步级思考完善，主要作品《几何学的基础》。

30、男生对女生连续问两个问题，只能用“是”或者“不是”来回答。

31、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。

32、不过，这样一来，考虑的函数范围就变窄了，同时也导致了不用极限概念就无法讨论无穷级数的收敛问题。

33、    推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群；推理用语言表达出来，一个自然人必须能够在其生命长度时间里审核其正确性，不能太长，这就是前面定义的可读性；这里要求的是一个自然人完整审核推理过程，而不是一群自然人在同一个逻辑层级上分工阅读，然后彼此互相提供证言；逻辑推理是一个迭代的过程，如同建筑工程一样，从泥土，砖头，墙壁，到楼房。承认一个前提推演新的结论，不能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，这样会造成自然人的“不可读”，两个独立的人能够分工对一次逻辑推理的正确性负责吗？答案显然是否定的，这关系到科学大厦的严密性和可靠性。

34、如果他不给自己刮胡子，他就属于“不给自己刮胡子的人”，那他就要给自己刮胡子。

35、1938年，罗素66岁，在牛津大学作系列讲座“语言与事实”。

36、第三次数学危机直接动摇了数学基础，危机的产生就需要解决。危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

37、这就是著名的“理发师悖论”，在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。

38、 学界对悖论的定义不这里，我们援引陈智论文中张建军的定义：逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况，在某些公认正确的背景知识之下，可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式

39、那超模君今天来讲讲数学史上的三次大危机吧。

40、1929年，罗素57岁，在美国巡回演讲。在伊利诺州埃文斯顿的西北大学为当代思想班学员演讲《通向世界的三条道路》。出版《婚姻与道德》一书。

41、这一理论上的缺陷招致了巨大的抨击，英国大主教更是直接称“无穷小”为盘旋的幽灵。如果这一危机无法解除，那无数由微积分理论所获得的成果都将遭受无情的质疑。这也就是数学史上的第二次危机。

42、正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：

43、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。

44、可是，几天后，刘强西温馨提醒这位理发师：你自己也该刮胡子了。

45、于是我们就可以把所有的集合分为两类：包括自己的集合和不包括自己的集合。

46、    如前所述，我们强调推理的主体是一个自然人，或能够相互完整阅读对方推理语言的若干个自然人；推理方案可以分解为若干子系统或分支，只能阅读和理解某一部分推理过程的人不能作为推理主体；推理主体可以借助一定的辅助工具，比如圆规、直尺、算盘，以及计算机、机器人，但它们不是推理主体；大量参与验算的人同机器验算本质上是一会儿事，这样的人不是推理主体。四色猜想的计算机证明用机器检查了海量的子情况，这样的工作其实可以按计划分配给几千人或几万人分头去做，难道可以写一篇作者数量为几万人的数学论文？！然而，近年来计算机的发展带来人工智能的新时代，数学界的一些例子时常带来新的争论。

47、国防科技大学教授：殷建平——计算机科学理论的过去、现在与未来

48、罗素悖论一经提出便在当时的数学界与逻辑学界内引起了轩然大波，直接导致了第三次数学危机！

49、经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后，第三次数学危机才终于得以解决。

50、萨维尔村理发师推出一块招牌：“理发师只给所有不给自己理发的人理发。”

51、教学难点是学生难于理解和掌握的学习内容，或是学生易于混淆或出错的学习内容。这些内容相对于学生而言，较为抽象、复杂，离生活实际较远。

52、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。

53、这才是矛盾的根源。所以，矛盾说明的是理发师并没有为“是否给自己理发”给出规则。

54、1910年，罗素38岁，任剑桥大学讲师。与A．N-怀德海合作撰写《数学原理》长达10年之后，该书第一卷问世。《数学原理》一书，被公认为是现代数理逻辑的基础，他所提出的“罗素悖论”推动了20世纪逻辑学的发展，他所主张的逻辑主义也在一定程度上推动了数学历史的发展。

55、80岁时，与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯离婚，同第四任妻子美国的英语教授伊迪丝·芬奇结婚。

56、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

57、罗素自始至终是一个自由主义者，对婚姻家庭也是这样，爱则合，不爱则离。一生有过四次婚姻：

58、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？

59、贝克莱主教对牛顿“无穷小量”说法的质疑引发了第二次数学危机.

60、目前，关于数学基础的各派思想依然层出不穷，至今没有形成一个在数学界被普遍接受的理论。

61、罗素从小叛逆，对祖母的严厉，产生叛逆，喜欢上数学，因为数学是可以怀疑的，没有伦理内容。

62、这是哪个名人说的？英国人罗素！那个在诺贝尔奖历史上，获诺贝尔文学奖的数学家罗素。这成为诺贝尔奖历史上的唯空前绝后。

63、即学生学习该内容时所具备的与该内容相联系的知识、技能、方法、能力等，以确定新课的起点，做好承上启下、新旧知识的有机衔接工作。

64、——布特鲁(PierreBoutroux)

65、无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？这引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次危机。

66、于是，集合理论成为了现代数学的基石，并受到许多数学家的推崇。然而好景不长，1903年英国数学家罗素提出了他的悖论，并称集合论是有漏洞的，震惊了整个数学界。

67、凡事无绝对，果然，在1903年，数学家们发现集合论其实有个大漏洞！

68、(3)圆规可以开至无限度宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开你之前构造过的长度。

69、1924年，罗素52岁，在美国巡回演讲《科学的未来》《怎样获得自由与幸福》。以《布尔什维克主义与西方》为题，面对“争取公众参议社团”人士，同司各特·尼尔林辩论。这时的罗素，完全是一个政治人物了。

70、这不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条(万物皆为数)，也冲击了当时希腊人的传统见解。当时希腊数学家们对此深感不安，希伯索斯还因此遭到沉舟身亡的惩处。

71、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

72、如果存在一个集合A={x|x∉x}，那么A∈A是否成立?如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。

73、“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

74、在罗素的悖论中，他构建了一个S，并提出如果S由一切不是自身元素的集合所组成，那S还包含S吗？这个看似合理的问题，却让回答者陷入两难的境地，如果S属于S，那根据S的定义，S就不属于S。而S就不属于S的话，根据定义，S就属于S。

75、1965年，罗素93岁，出版《论科学哲学》一书。

76、祖冲之—第一次将圆周率值计算到小数点后6位

77、    前面我们系统阐述了人类靠逻辑推理，一步一步迭代，构建起庞大的逻辑推理网络动力系统。毫无疑问，每一次逻辑推理都是严密的，但这并不能保证整个网络光滑演化，这里光滑演化的含义是系统在演化过程中始终保持自洽，新结果同老结果没有矛盾。事实上，在数学的发展史上，既出现过推理节点突破人类认识的时刻，也出现过推理范围受限的时刻，这就是网络系统演化过程中出现的三个著名奇点：三次数学危机。

78、希帕苏斯是毕达哥拉斯学派的一员，有一天，他正在思考“边长为1的正方形其对角线长度是多少呢”这一问题时，发现这一长度不能用整数和分数来表示，只能用一个全新的数来表示，从而发现了第一个无理数。

79、对于这次的风波，因为其影响重大，被称作“第一次数学危机”，而第二次数学危机的出现，则是源于微积分工具的使用。

80、然而好景不长，20世纪初，罗素悖论等一系列集合论悖论的发现，引起了人们对集合论，甚至是数学基础的讨论。正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾动摇了它们，使得数学家们对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

81、                                   文字|吴浩芸

82、 数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景；

83、1927年，55岁的罗素想到了创业，在彼得斯菲尔德附近的塔山开办学校，自任校长，夫人多拉任女校长。

84、1889年，罗素17岁，遇到阿鲁丝·伯尔萨尔·史密斯，并爱上她，受到祖母阻挠。

85、64岁，与第三任妻子海伦-帕特里夏·斯彭斯结婚，有一儿子

86、“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理(也就是我国俗称的勾股定理)却恰恰成了其信仰的终结者。

87、哥德尔不完全性定理同样利用悖论构造了一个形式不可判定命题。这回用的是理查德悖论，其通俗变体有一种是伯尔利悖论：“用总笔画少于一千画的汉字所不能写出的一句话。”用不着细数这二十一个汉字的笔画就可知道它们的总笔画决不会有一千画，但正是这少于一千画的汉字写出了一句话，这就引起矛盾形成了悖论。定理富于技巧性的“哥德尔数”证明方法能够给一切形式化的公式语句进行编码，有一部科幻小说就描述了可以用哥德尔数翻译所有文字和信息的“哥德尔语言”。哥德尔不完全性定理是一个光辉的定理！它把悖论幽灵像所罗门王封在瓶中的魔鬼一样完全释放出来，使人类制服悖论幽灵的千年愿望彻底破灭。不管喜不喜欢，从古至今伴随人类智慧一同成长的悖论已经牢固地楔入数学基础，而且还是那最重要的一块“鲁班石”。不抽掉它，人们总感觉到矛盾基础上的建筑是空中楼阁；要想抽掉它，数学大厦也会轰然倒塌。

88、1894年，罗素22岁，这一年毕业任英国驻巴黎名誉参赞，这是他第一次走向社会。同年，与阿鲁丝·史密斯结婚。这是他第一次走进婚姻家庭。

89、三位深度学习之父共获2019年图灵奖，学术人生令人赞叹！！！

90、第一个无理数的发现，在当时的数学家引起轩然大波，它直接推翻了毕达哥拉斯的著名理论，还极大冲击了当时希腊人的普遍观念，更糟糕的是，希腊人对此毫无办法，这就直接导致了当时的认识危机。

91、朱松纯|人工智能的现状、任务、构架与统一(中)

92、重要的是，柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并各自建立了自己完整的实数体系。

93、当这位70岁的Hinton老人还在努力推翻自己积累了30年的学术成果时，我才知道什么叫做生命力(附Capsule最全解析)

94、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。

95、一条线段和一条直线上的点一样多？90%的学霸都不会证明

96、时间来到19世纪，数学家康托尔创立了著名的集合理论，这个新生的理论刚刚诞生，便受到了很多人的猛烈攻击，但不久后，这一理论就被许多数学家所接受，因为他们发现从自然数与康托尔集合论出发科员建立起整个数学大厦。